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前にも似た内容を記事にした事があるんですが、どうにも理解されていないようなので…
まぁ、そもそも「この確率が低い事を感覚的に理解できる人は少なく、大半の人は『確率のマジック』に騙されてしまう」から、景表法で絵合わせクジ（いわゆるコンプガチャ）が禁止されてるわけなんですが…
ただ、前回は実際の零式に即して断章やドロップ装備の種類などを加え、大分複雑な計算をしてしまって分かりにくかったと思うので、今回はもっとシンプルにして話してみようと思います
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問１
さて、1週につき1/8の確率で取得できる箱がドロップする場合、それを獲得する為に必要な平均周回数はいくつでしょうか？
答１
はい。8週ですね。考えるまでもないと思います。正解です
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問２
では、次、1週につきそれぞれ1/8の確率で取得できる箱Aと箱Bが両方ドロップする場合、それらを「両方とも」獲得する為に必要な平均周回数はいくつでしょうか？
答２
どっちも毎回ドロップする上、それぞれ1/8の確率で取得できるし、それぞれ個別に獲得するのに必要な週数期待値は両方8週なんだから、同じく8週？
違いますよ
そのお話を、ちょっとしていこうと思います
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この確率計算をする前に、そもそも「8週回った場合、少なくとも1個の箱を手に入れている確率はどのくらいなのか」考えたいと思います
まず問１については、簡単です。毎週箱を「取得できない」確率が7/8ですから、
1－(7/8)^8 ＝ 65.64%
で計算できます。すると65.64%位の確率で、8週以内に取得できるわけですね
では、問２はどうかというと、上のように「取得できない」確率を箱Aと箱B両方についてやる必要があり、しかも箱Aと箱Bを両方取得できなきゃいけないわけですから
(1－(7/8)^8)×(1－(7/8)^8) ＝ 43.08%
という話になってしまいます。すると、上記箱Aと箱Bを両方8週以内に取得できる確率って、43.08%しかない事が分かります
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この「箱Aと箱Bを両方取得する為に必要な平均週数」の求め方は、正直良く分かりません。難しい大学試験の数学だったら、こういうのを計算させたりするんでしょうか？
ゴリ押しで考えれば、以上の計算を「8週以内に取得できる確率」「9週以内に取得できる確率」「10週以内に取得できる確率」「11週以内に取得できる確率」と進めていき、ボリュームゾーン（面積）が50%を超えたあたりが、平均週数（期待値）に当たると思われます
しかし、計算法が分からなくとも、我々には文明の利器、プログラミングがあります
面倒なので、JAVAでスクリプトを組んでシミュレーションしてしまいましょう
public static void main(String[] args) {
double total = 0.0d;
for (int i = 0; i < 10000; i++) {
boolean drop0 = false;
boolean drop1 = false;
for (int week = 0; week < 10000; week++) {
total = total + 1.0d;
if (Math.random() < 0.125d) {
drop0 = true;
}
if (Math.random() < 0.125d) {
drop1 = true;
}
if (drop0) {
if (drop1) {
break;
}
}
}
}
System.out.println("平均周回数は "+(total/10000));
}
このスクリプトは、当該試行を1万回行って、その平均周回数を算出するシミュレーションです
このスクリプトを実行すると…
平均周回数は 11.6536
平均周回数は 11.8348
平均周回数は 11.9536
すると、上記問２の必要平均周回数は、8週なんかではなく、11.8週ほどである事が分かりますね
ちなみに、計算法は分かりませんが、概算は可能です。例えば、週2種類ドロップする箱を種類不同で1つ拾うのに必要な週数は4週であり、そこから残った1つを8週かけて拾う事になるので、合計12週、という概算になります
ただ、概算とズレてるので、何か見落としがあるんでしょうね
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…なぜこれを「平均8週で取得できる」と誤認してしまうのか、というのは、「必要週数」と「取得できる平均の箱数」を勘違いしてしまうからです
問２において、「週に取得できる箱Aと箱Bの合計数の平均」は、間違いなく1/8×2個です。そして、箱Aと箱Bを合計2個手に入れる為に必要な平均週数は、間違いなく8週です
しかし、それにより取得した箱Aと箱Bはダブっている可能性が高いので、8週しても普通は箱Aと箱B両方を手に入れる事は出来ないのです
これが、景表法で禁止されるクジ行為である「絵合わせ」です
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問３
では、最後に、全身装備12か所が、毎週箱A～箱Lでドロップするとして、それぞれ1/8の確率で取得できる場合、全身装備12か所を全て取得するのにかかる平均週数は、いくつになるでしょうか？
同じようにスクリプト組んでシミュレーションしてみましょう
public static void main(String[] args) {
double total = 0.0d;
for (int i = 0; i < 10000; i++) {
boolean drop0 = false;
boolean drop1 = false;
boolean drop2 = false;
boolean drop3 = false;
boolean drop4 = false;
boolean drop5 = false;
boolean drop6 = false;
boolean drop7 = false;
boolean drop8 = false;
boolean drop9 = false;
boolean drop10 = false;
boolean drop11 = false;
for (int week = 0; week < 10000; week++) {
total = total + 1.0d;
if (Math.random() < 0.125d) {
drop0 = true;
}
if (Math.random() < 0.125d) {
drop1 = true;
}
if (Math.random() < 0.125d) {
drop2 = true;
}
if (Math.random() < 0.125d) {
drop3 = true;
}
if (Math.random() < 0.125d) {
drop4 = true;
}
if (Math.random() < 0.125d) {
drop5 = true;
}
if (Math.random() < 0.125d) {
drop6 = true;
}
if (Math.random() < 0.125d) {
drop7 = true;
}
if (Math.random() < 0.125d) {
drop8 = true;
}
if (Math.random() < 0.125d) {
drop9 = true;
}
if (Math.random() < 0.125d) {
drop10 = true;
}
if (Math.random() < 0.125d) {
drop11 = true;
}
if (drop0 && drop1 && drop2 && drop3 && drop4 && drop5) {
if (drop6 && drop7 && drop8 && drop9 && drop10 && drop11) {
break;
}
}
}
}
System.out.println("平均周回数は "+(total/10000));
}
このスクリプトを実行すると…
平均周回数は 23.5394
平均周回数は 23.7844
平均周回数は 23.6617
すると、全身12か所の装備が毎回ドロップする場合、それを全て集めるのに必要な週数は、約23.6週程度である事が分かりますね
これも、概算だと0.6666666+0.727272727+0.8+0.888888+1+1.1428571+1.333333+1.6+2+2.66666+4+8＝24.82週になるので、概算間違えてるんでしょうね
これは零式の話ですが、アライアンスレイドで全身分の装備をミラプリ目的で集める場合、インスタンスダンジョンで全身分の装備をミラプリ目的で集める場合、当然、同じ問題が発生する事となります
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こう考えると、「なぜ景表法で絵合わせクジが禁止されているのか」というのが良く分かります
皆さん、「毎週12種類の箱A～Lがドロップされる場合、それぞれ1/8の確率で取得できるとしたら、何週くらいで全身12か所の装備をそろえる事が出来るだろうか」という問いに対して、即座に「23.6週位ですね」と答えられますか？絶対に無理だと思います
こういう風に、「絵合わせクジをコンプリートできる確率」というのは想定困難であり、何週でコンプリートできるのかの評価も困難なので、景表法で絶対禁止事項とされているのです
景表法の課金ガチャ規制には、総額規制とか、表記規制等がありますが、いずれも業界の自主規制に過ぎなかったり、抽象的な規制でしかなかったりします
しかしこの「絵合わせクジ」については裁量の余地がない全面規制であり、課金ガチャでは絶対行ってはならない行為とされています
たまに、「なぜ絵合わせだけが景表法で全面禁止となっているのですか」という質問を見かける事があるのですが、こういう事です
一般論としては、「絵合わせはその取得確率に対する欺罔性・隠匿性が高すぎる」と説明されています
…ところで、FF14の大迷宮バハムート時代には「断章」という概念が存在せず、直ドロップのみで装備をそろえなければならなかったという噂を聞いた事があり、それが「緩和」されて断章が導入されたという話ですが…
多分、運営はそもそも、12種類の装備をドロップのみで集める場合、固定に頼らずに完全野良で装備を集めようとすると、約23.6週程度かかってしまうという事に、気づかなかったのではないかと思っています
後で取得統計を眺めて、野良でパッチ内に全身12種類コンプしている人が極端に少ないのに気づいて、ようやく断章を導入した、という経緯ではないかと…
まぁ、当時は完全に固定ゲーであり大迷宮バハムートを野良クリアする事自体想定してなかったので、野良プレイヤーに装備を絶対渡したくなかった、という可能性もなくはないですが…
実際、断章は「手に入らなかった部位」に充てる事が出来るため、「絵合わせ」要素を回避する事が出来る仕様であり、どう考えても「絵合わせ問題」に気づいて導入されたものとしか考えられない仕様をしています
初めまして、通りがかったのです。
問2,3の厳密解を計算してみたのですね。
問2
[n週目にAB両方が初めて揃う]=[n週目に初めてAを取る&n-1週目までに少なくとも一つBを取る]+[n週目に初めてBを取る&n-1週目までに少なくとも一つAを取る]+[n週目にABともに初めて取る]
なのでn週目にAB両方が初めて揃う確率は
(1/8)*(7/8)^(n-1) * {1-(7/8)^(n-1)} + {1-(7/8)^(n-1)} * (1/8)*(7/8)^(n-1) + (1/8)*(7/8)^(n-1) * (1/8)*(7/8)^(n-1)
= (1/4)*(7/8)^(n-1) - (15/64)*(7/8)^2(n-1)
よって求めたい期待値は
Σ[n=1,∞] n * {(1/4)*(7/8)^(n-1) - (15/64)*(7/8)^2(n-1)}
となる。あとは計算して 176/15 = 11.733...
これは高校数学の範囲でできるので、確かに大学入試に出てもおかしくなさそうなのです。
問3
[n週目にAからLが初めて揃う]=12*[n週目に初めてAを取る&n-1週目までに少なくとも一つずつB～Lを取る]+(12*11/2)*[n週目に初めてABを取る&n-1週目までに少なくとも一つずつC～Lを取る]+...+[n週目にA～Lを全て初めて取る]
なので確率は（Cは二項係数）
Σ[k=1,12] 12Ck * {(1/8)*(7/8)^(n-1)}^k * {1-(7/8)^(n-1)}^(12-k)
よって期待値は
Σ[n=1,∞] n * Σ[k=1,12] 12Ck * {(1/8)*(7/8)^(n-1)}^k * {1-(7/8)^(n-1)}^(12-k)
手計算は面倒ですが求めると 189865460066725855325853755428713749207193952 / 7997851182036725650903686460745607359466525 = 23.739...
概算だとズレるのは同じ週に取れる可能性があるのを無視してる関係だと思うのですね。
